Возведение в степень рекурсией python

Примеры программ с использованием рекурсии на языке Python

В этом разделе мы рассмотрим программы на языке Python, в которых используется рекурсия.

Рекурсия — это способ задания алгоритма вычисления функции с использованием вызова ею самой себя. Функция, которая вызывает сама себя, называется рекурсивной.

Рекурсивный метод решения задач применяется, когда задачу можно разбить на одинаковые подзадачи, которые в свою очередь также можно разбить. И так много раз подряд.

Здесь мы рассмотрим примеры программ для определения четности числа, нахождения чисел Фибоначчи и вычисления факториала числа. Также мы разберем программы для поиска наименьшего общего кратного (НОК) и наибольшего общего делителя (НОД) с использованием рекурсии, а еще — программу проверки числа на простоту. Другие программы в этом разделе содержат алгоритмы обращения строки, вычисления длинны списка, нахождения суммы данных чисел. Все это, разумеется, будет делаться с использованием рекурсии.

• определение четности числа с использованием рекурсии
• рекурсивный поиск количества вхождений заданной буквы в строке
• вывод чисел Фибоначчи с использованием рекурсии
• вычисление факториала числа с использованием рекурсии
• вычисление с помощью рекурсии суммы элементов списка
• перевод числа в двоичную систему счисления с использованием рекурсии
• вычисление суммы цифр числа при помощи рекурсии
• рекурсивный поиск наименьшего общего кратного (НОК)
• рекурсивный поиск наибольшего общего делителя
• проверка числа на простоту с использованием рекурсии
• вычисление произведения двух чисел с использованием рекурсии
• возведение числа в степень при помощи рекурсии
• проверка, является ли строка палиндромом, с использованием рекурсии
• вывод строки в обратном порядке с использованием рекурсии
• преобразование списка, состоящего из списков, в обычный список (с использованием рекурсии)
• вычисление суммы элементов списка, содержащего вложенные списки, с использованием рекурсии
• нахождение длины списка при помощи рекурсии.

Источник

Python алгоритмы

Блог про алгоритмы и все что с ними связано. Основной инструмент реализации — Python.

Дай 10 !)

среда, 20 апреля 2011 г.

Возведение в степень

Рассмотрим задачу возведения числа в степень. Нам нужна процедура, которая, приняв в качестве аргумента основание b и положительное целое значение степени n, возвращает b n . Один из способов получить желаемое — через рекурсивное определение

def expt(b, n): if n==0: return 1 return b*expt(b, n-1)

Это линейно рекурсивный процесс, требующий θ(n) шагов и θ(n) памяти. Подобно факториалу, мы можем немедленно сформулировать эквивалентную линейную итерацию:

def expt(b, n): def exptIter(counter, product): if counter==0: return product return exptIter(counter-1, b*product) return exptIter(n,1)

Эта версия требует θ(n) шагов и θ(1) памяти.
Можно вычислять степени за меньшее число шагов, если использовать последовательное возведение в квадрат. Например, вместо того, чтобы вычислять b 8 в виде:

Этот метод хорошо работает для степеней, которые сами являются степенями двойки. В общем случае при вычислении степеней мы можем получить преимущество от последовательного возведения в квадрат, если воспользуемся правилом:

def fastExp(b, n): def even(n):#проверка четности if n%2==0: return 1 return 0 if n==0: return 1 if even(n): return fastExp(b, n/2)**2 return b*fastExp(b, n-1)

Процесс, вычисляющий fastExpt, растет логарифмически как по используемой памяти, так и по количеству шагов. Чтобы увидеть это, заметим, что вычисление b 2n с помощью этого алгоритма требует всего на одно умножение больше, чем вычисление b n . Следовательно, размер степени, которую мы можем вычислять, возрастает примерно вдвое с каждым следующим умножением, которое нам разрешено делать. Таким образом, число умножений, требуемых для вычисления степени n, растет приблизительно так же быстро, как логарифм n по основанию 2. Процесс имеет степень роста θ(log(n)).

Точнее, количество требуемых умножений равно логарифму n по основанию 2 минус 1 и плюс количество единиц в двоичном представлении n. Это число всегда меньше, чем удвоенный логарифм n по основанию 2.
Произвольные константы k₁ и k₂ в определении порядка роста означают, что для логарифмического процесса основание, по которому берется логарифм, не имеет значения, так что все такие процессы описываются как θ(log(n)).

Если n велико, разница между порядком роста θ(log(n)) и θ(n) оказывается очень заметной. Например, fastExpt при n = 1000 требует всего 14 умножений. С помощью идеи последовательного возведения в квадрат можно построить также итеративный алгоритм, который вычисляет степени за логарифмическое число шагов, хотя, как это часто бывает с итеративными алгоритмами, его нельзя записать так же просто, как рекурсивный алгоритм.

UPD. Не рекурсивный алгоритм

def fastExp(b,n): def even(n):#проверка четности if n%2==0: return 1 return 0 a=1 if not even(n): a=b n-=1 while n!=1: b*=b n/=2 b*=a return b

• Рекурсивный 2100004 function calls (1100004 primitive calls) in 15.029 CPU seconds
• Линейный 200004 function calls in 1.644 CPU seconds
• Встроенная функция pow в модуль math 100005 function calls in 0.600 CPU seconds

Источник

Нахождение степени числа с использованием рекурсии

Программа принимает на вход число и его степень, и при помощи рекурсии вычисляет результат.

Решение задачи

1. Принимаем на вход число и значение его степени, записываем их в отдельные переменные.
2. Передаем эти переменные в качестве аргументов в рекурсивную функцию.
3. Определяем в качестве базового условия рекурсии равенство степени 1 . В этом случае функция выводит само число, так как любое число в степени 1 равно само себе.
4. В противном случае мы выводим произведение числа на эту же функцию, в которой второй аргумент, степень, уменьшен на 1 .
5. Выводим конечный результат на экран.
6. Конец.

Исходный код

Ниже дан исходный код, который осуществляет возведение числа в степень с использованием рекурсии. Результаты работы программы также даны ниже.

def power(base, exp): if (exp == 1): return (base) if (exp != 1): return (base * power(base, exp - 1)) base = int(input("Введите число: ")) exp = int(input("Введите его степень: ")) print("Результат возведения в степень равен:", power(base, exp))

Объяснение работы программы

1. Принимаем на вход число и значение его степени, записываем их в отдельные переменные base и exp соответственно.
2. Передаем эти переменные в качестве аргументов в рекурсивную функцию power() .
3. Определяем в качестве базового условия рекурсии exp == 1 . В этом случае функция выводит само число из переменной base , так как любое число в степени 1 равно само себе.
4. В противном случае мы выводим произведение числа на эту же функцию, в которой второй аргумент (степень) уменьшен на единицу: base * power(base, exp — 1) . Таким образом мы накапливаем произведение числа, хранящегося в переменной base , самого на себя ровно exp раз, что эквивалентно возведению числа base в степень exp .
5. Выводим конечный результат на экран.

Результаты работы программы

Пример 1: Введите число: 2 Введите его степень: 5 Результат возведения в степень равен: 32 Пример 2: Введите число: 5 Введите его степень: 3 Результат возведения в степень равен: 125

Источник

Рекурсивное возведение в степень

Runtime error из-за того что превышаю глубину рекурсии, а итерационный тоже считает медленно. А еще я не выполняю условие задачи в рекурсии: «Результатом BinPow(a, n, f) будет применение f(x) к a n-1 раз.»

Как уменьшить вложенность рекурсии или ускорить итерационный способ?

Возведение в степень
Написать функцию возведения числа в степень

Возведение в степень
Нам нужно раздать студентам учебники по математике и истории. В классе 2 секции: в первой — 18.

Возведение в степень
Для того чтобы проверить, как её ученики умеют считать, Мария Ивановна каждый год задаёт им на дом.

Возведение в степень
Добрый вечер! Можете пожалуйста объяснить разницу между этими выражениями? С точки зрения.

Возведение в степень
Необходимо написать программу, которая возводит в заданную степень все числа, переданные.

Сообщение было отмечено Glbvnts как решение

Решение

В рекурсивном способе f вообще не используется.

На всякий случай — быстрое возведение в степень (с фиксацией к-ва умножений):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

def fast_pow(x,n): global c if (n1): return (1,x)[n] p=x a=x k=1 while True: k2=k+k if k2n: p=p*a c+=1 a=p k=k2 else: return p*fast_pow(x,n-k) c=0 print(fast_pow(2,100)) print(c)

10715086071862673209484250490600018105614048117055336074437503883703510511249361 22493198378815695858127594672917553146825187145285692314043598457757469857480393 45677748242309854210746050623711418779541821530464749835819412673987675591655439 46077062914571196477686542167660429831652624386837205668069376
38

Источник

Как понять рекурсию в Python?

Наткнулся на задачу возведения в степень числа через рекурсию функции, но не могу понять алгоритм рекурсии.

def rec(a,b): if b == 0: return 1 else: return a * rec(a, b-1) a, b = 2, 3 print(rec(a,b))

В функции в условии else а вычисляется до нужной степени, с каждой рекурсией b уменьшается на единицу и в итоге приравнивается к нулю. Когда b равно нулю выполняется первое условие (return 1), но это условие возвращает единицу, а не число, возведенное в степень. Так каким же тогда образом выводится степень, а не единица?

Оценить 1 комментарий

Единица возвращается в предыдущий вызов функции, где умножается на a равную двум и опять возвращается в предудщий вызов. Так пока не дойдёт до первого вызова, который вернёт значение своё функции print(). Чтобы лучше представить это, мыслено замени вызовы функции на её тело

( if 3 == 0: return 1 else: return 2 * ( if 2 == 0: return 1 else: return 2 * ( if 1 == 0: return 1 else: return 2 * ( if 0 == 0: return 1 else: #Эта ветка никогда не выполнится ) ) ) )

x^0 = 1.
В 7 классе изучается 🙂

upd: фактически алгоритм делает следующее (a * (a * (a * (a *. (a * 1)))))

Нужно смотреть на функцию как на множество разных функций, похожих друг на друга. Поэтому когда функция вызывает саму себя, надо на это смотреть как на функцию, вызывающую очень похожую, но другую функцию. А когда функция вызывает другую функцию, они передают друг другу значения: вызывающая вызываемой подаёт параметры, а вызываемая вызывающей подаёт возвращаемое значение.

Прежде чем изучать рекурсию поймите сначала рекурсию.

Рекурсия это способ решения задачи путем ее упрощения до такого состояния, когда задачу уже можно взять и решить, а не упрощать.

Вам уже привели пример со степенью:
2 ^ 2
Известно что если упростить до:
2 ^ 0 , то мы должны получить результат 1
Вот и упрощайтее задачу возведения в степень до того, чтобы текущий показатель степени стал равным 0.

И да, рекурсивно полезно мыслить. Не забрасывайте попыток разобраться.
К примеру обход деревьев куда проще рекурсивно , чем в виде итеративного решения.

Также, рекомендую почитать SICP. Эта книга дает ясное понимание между двумя нюансами по поводу рекурсии, о которых не каждый программист знает. Пример задачи : Напишите рекурсивную функцию вычисляющую факториал итеративно. Еще раз обращу внимание на формулировку: функция рекурсивная, а вычислить итеративно! Все это не бред и вполне логично, подробнее в SICP

Источник