Как создать матрицу в Python: инструкция
Матрицы являются одним из основных объектов в математике. Они используются для представления и манипулирования данными в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов. Их используют для решения систем линейных уравнений, определения матричных действий, преобразования координат и многого другое.
В этой статье мы опишем несколько способов создать матрицу в Python. И дополнительно рассмотрим некоторые основные операции, такие как сложение, умножение и определение обратной матрицы.
Что такое матрица
Матрица — это таблица из чисел, которая используется в математике и инженерных науках для представления данных. Матрицы имеют форму таблицы, состоящей из строк и столбцов. Каждый элемент имеет свой уникальный индекс, обозначающий строку и столбец, в котором он находится. Например, матрица размером 3×3 будет иметь 3 строки и 3 столбца, и каждый элемент будет иметь индекс вида (i, j), где i — номер строки, а j — номер столбца.
Создание матрицы
В Python существует несколько способов создания матрицы. Ниже приведены некоторые из них:
- С помощью списков. Можно создать матрицу, используя вложенные списки. Каждый вложенный список будет соответствовать одной строке. Так можно создать квадратную матрицу Python :
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]- С помощью NumPy. NumPy — это библиотека для математических вычислений и обработки данных. В ней есть класс Array, который можно использовать для создания матрицы:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])Если вам нужно производить стандартные математические операции с матрицами, то стоит использовать NumPy. Его проще использовать и все операции уже реализованы в библиотеке. А если вы хотите самостоятельно создавать методы, например, в образовательных целях, или же планируете совершать нестандартные манипуляции, то используйте вложенные списки.
Теперь рассмотрим матричные операции и поработаем с ними с помощью вложенных списков и NumPy.
Матричные операции
Вот список основных манипуляций:
- Сложение. Две матрицы можно сложить, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.
- Вычитание. Одну матрицу можно вычесть из другой, если их размеры совпадают. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен разности соответствующих элементов исходных матриц.
- Умножение начисло. Каждый элемент итоговой матрицы будет равен произведению соответствующего элемента исходной матрицы на число.
- Произведение матриц. Матрицы можно перемножить, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. В результате получится новая матрица с размером, соответствующим числу строк первой матрицы и числу столбцов второй матрицы. Более подробно эту операцию мы разберем чуть дальше.
- Транспонирование матрицы. Транспонирование — это операция, в которой строки и столбцы меняются местами. Т.е. первый столбец становится первой строкой, второй столбец — второй строкой и так далее.
- Нахождение обратной матрицы. Матрица B будет являться обратной матрицей для матрицы A, если результатом операции A*B является единичная матрица.
Сложение
Важно не забывать, что при сложении двух матриц их размеры должны совпадать.
Вот пример сложения с помощью вложенных списков и циклов:
matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix1[0])):
result[i][j] = matrix1[i][j] + matrix2[i][j]
print(result)[[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10]] Вот аналогичное сложение с помощью метода add() из библиотеки NumPy:
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])
result = np.add(matrix1, matrix2)
print(result)[[10 10 10]
[10 10 10]
[10 10 10]]Вычитание
В Python можно выполнять вычитание матриц с помощью цикла или метода subtract() из библиотеки NumPy. При вычитании размеры должны совпадать.
Вычитание с помощью цикла:
matrix1 = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
matrix2 = [[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix1[0])):
result[i][j] = matrix1[i][j] - matrix2[i][j]
print(result)Вычитание с помощью метода subtract() из библиотеки NumPy:
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
matrix2 = np.array([[9, 8, 7], [6, 5, 4], [3, 2, 1]])
result = np.subtract(matrix1, matrix2)
print(result)Умножение на число
В Python умножение матрицы на число можно реализовать с помощью цикла или воспользоваться методом dot() из библиотеки NumPy.
При умножении матрицы на число, каждый элемент умножается на это число.
Умножение с помощью цикла:
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
scalar = 2
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix)):
for j in range(len(matrix[0])):
result[i][j] = matrix[i][j] * scalar
print(result)Вот пример работы метода dot() из библиотеки NumPy с теми же вводными:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
scalar = 2
result = np.dot(matrix, scalar)
print(result)Также вместо метода dot() можно использовать знак операции умножения * :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
scalar = 2
result = matrix * scalar
print(result)В большинстве случаев метод dot() работает быстрее вручную реализованных циклов.
Произведение матриц
Произведение — это операция, в результате которой получается новая матрица с числом строк первой матрицы и числом столбцов второй. При матричном умножении, число столбцов первой матрицы должно совпадать с числом строк второй. Каждый элемент новой матрицы — это сумма произведения элементов строки первой матрицы и элементов столбцов второй матрицы, как на картинке ниже:
Как и прежде, реализуем произведение с помощью циклов и NumPy.
Умножение, реализованное на циклах, может иметь такой вид:
matrix1 = [[1, 2], [3, 4]]
matrix2 = [[5, 6], [7, 8]]
result = [[0, 0], [0, 0]]
for i in range(len(matrix1)):
for j in range(len(matrix2[0])):
for k in range(len(matrix2)): result[i][j] += matrix1[i][k] * matrix2[k][j]
print(result)В NumPy для матричного умножения используется метода dot() :
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
result = np.dot(matrix1, matrix2)
print(result)Аналогично методу dot() работает операция @ :
import numpy as np
matrix1 = np.array([[1, 2], [3, 4]])
matrix2 = np.array([[5, 6], [7, 8]])
result = matrix1 @ matrix2
print(result)Использование метода dot() или оператора @ даёт более быстрый, по сравнению с использованием вручную реализованных циклов, результат.
Не забывайте, что произведение является некоммутативной операцией, то есть порядок умножения матриц имеет значение и результат будет разным, если их переставить местами.
Транспонирование
Транспонирование — это операция, в результате которой строки исходной матрицы становятся столбцами новой матрицы, а столбцы — строками.
В Python можно выполнить транспонирование с помощью свойства T или метода transpose() из библиотеки NumPy .
Пример транспонирования с использованием свойства T :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
result = matrix.T
print(result)И пример транспонирования с использованием метода transpose() :
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
result = np.transpose(matrix)
print(result)В обоих случаях результат одинаковый.
С помощью цикла транспонирование можно реализовать следующим образом:
matrix = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]
result = [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
for i in range(len(matrix)):
for j in range(len(matrix[0])):
result[j][i] = matrix[i][j]
print(result)Этот метод может быть медленным и неэффективным для больших матриц, поэтому для более быстрого и эффективного решения рекомендуется использовать NumPy.
Нахождение обратной матрицы
Обратная матрица — это матрица, которая при умножении на исходную матрицу в результате дает единичную матрицу (с единицами на диагонали и нулями в остальных ячейках).
В Python можно найти обратную матрицу с помощью метода inv() из библиотеки NumPy.
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
result = np.linalg.inv(matrix)
print(result)Если матрица не имеет обратной матрицы, то метод inv() вызовет исключение LinAlgError: Singular matrix .
Чтобы проверить, имеет ли матрица обратную, используйте метод det() из библиотеки NumPy, который возвращает определитель матрицы. Если определитель равен нулю, то матрица вырожденная и она не имеет обратной матрицы:
import numpy as np
matrix = np.array([[1, 2], [3, 4]])
determinant = np.linalg.det(matrix)
if determinant == 0:
print("The matrix does not have an inverse.")
else:
result = np.linalg.inv(matrix)
print(result)Нахождение обратной матрицы с помощью циклов может быть достаточно сложным и трудоемким процессом, особенно для больших матриц. Поэтому рекомендуем использовать NumPy.
Заключение
Матрицы являются важной концепцией в линейной алгебре и часто используются в различных областях, таких как искусственный интеллект, графика и оптимизация. В Python представлено множество инструментов для работы с матрицами, включая библиотеку NumPy. Понимание матриц и их операций может быть полезным для решения множества практических задач в различных областях.
Линейная алгебра на Python. [Урок 2]. Транспонирование Матрицы
В этом уроке мы рассмотрим операцию “транспонирование матрицы” и как она выполняется на Python. Также разберем на примерах свойства этой операции.
Транспонирование матрицы
Транспонирование матрицы – это процесс замены строк матрицы на ее столбцы, а столбцов соответственно на строки. Полученная в результате матрица называется транспонированной. Символ операции транспонирования – буква T .
Транспонированная будет выглядеть так:
Решим задачу транспонирования матрицы на Python . Создадим матрицу A:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> print(A) [[1 2 3] [4 5 6]] Транспонируем матрицу с помощью метода transpose():
>>> A_t = A.transpose() >>> print(A_t) [[1 4] [2 5] [3 6]]
Существует сокращенный вариант получения транспонированной матрицы, он очень удобен в практическом применении:
Рассмотрим на примерах свойства транспонированных матриц. Операции сложения и умножение матриц, а также расчет определителя более подробно будут рассмотрены в последующих уроках.
Свойство 1 . Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> print(A) [[1 2 3] [4 5 6]] >>> R = (A.T).T >>> print(R) [[1 2 3] [4 5 6]] Свойство 2 . Транспонирование суммы матриц равно сумме транспонированных матриц:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> B = np.matrix('7 8 9; 0 7 5') >>> L = (A + B).T >>> R = A.T + B.T >>> print(L) [[ 8 4] [10 12] [12 11]] >>> print(R) [[ 8 4] [10 12] [12 11]] Свойство 3 . Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц расставленных в обратном порядке:
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> B = np.matrix('5 6; 7 8') >>> L = (A.dot(B)).T >>> R = (B.T).dot(A.T) >>> print(L) [[19 43] [22 50]] >>> print(R) [[19 43] [22 50]] В данном примере, для умножения матриц, использовалась функция dot() из библиотеки Numpy.
Свойство 4 . Транспонирование произведения матрицы на число равно произведению этого числа на транспонированную матрицу:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> k = 3 >>> L = (k * A).T >>> R = k * (A.T) >>> print(L) [[ 3 12] [ 6 15] [ 9 18]] >>> print(R) [[ 3 12] [ 6 15] [ 9 18]] Свойство 5 . Определители исходной и транспонированной матрицы совпадают:
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> A_det = np.linalg.det(A) >>> A_T_det = np.linalg.det(A.T) >>> print(format(A_det, '.9g')) -2 >>> print(format(A_T_det, '.9g')) -2 Ввиду особенностей Python при работе с числами с плавающей точкой, в данном примере вычисления определителя рассматриваются только первые девять значащих цифр после запятой (за это отвечает параметр ‘.9g’ ).
P.S.
Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта . Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.
Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.