Polynomials
Полиномы NumPy могут быть созданы , манипулируют , и даже установлены с помощью удобных классов на numpy.polynomial пакет, введенный в NumPy 1.4.
До NumPy 1.4 numpy.poly1d был numpy.poly1d, который по-прежнему доступен для обеспечения обратной совместимости. Однако новый polynomial package является более полным, а его convenience classes предоставляют более согласованный интерфейс с лучшим поведением для работы с полиномиальными выражениями. Поэтому numpy.polynomial рекомендуется для нового кодирования.
Terminology
Термин полиномиальный модуль относится к старому API, определенному в numpy.lib.polynomial , который включает класс numpy.poly1d и полиномиальные функции с префиксом poly, доступные из пространства имен numpy (например, numpy.polyadd , numpy.polyval , numpy.polyfit , так далее.).
Термин полиномиальный пакет относится к новому API, определенному в numpy.polynomial , который включает в себя удобные классы для различных видов полиномов ( numpy.polynomial.Polynomial , numpy.polynomial.Chebyshev и т. д .).
Переход от numpy.poly1d к numpy.polynomial
Как отмечалось выше, poly1d class и связанные с ним функции, определенные в numpy.lib.polynomial , такие как numpy.polyfit и numpy.poly , считаются устаревшими и не должны использоваться в новом коде. Начиная с версии NumPy 1.4, пакет numpy.polynomial предпочтительнее для работы с полиномами.
Quick Reference
В следующей таблице показаны некоторые из основных различий между устаревшим модулем polynomial и пакетом polynomial для общих задач. Класс Polynomial импортирован для краткости:
from numpy.polynomial import Polynomial
Создайте полиномиальный объект из коэффициентов 1
Создание объекта полинома из корней
r = np.poly([-1, 1]) p = np.poly1d(r)
p = Polynomial.fromroots([-1, 1])
Подобрать полином степени deg к данным
Обратите внимание на обратный порядок коэффициентов
Transition Guide
Между numpy.lib.polynomial и numpy.polynomial есть существенные различия . Наиболее существенное различие — это порядок коэффициентов в полиномиальных выражениях. Все различные подпрограммы в numpy.polynomial имеют дело с сериями, коэффициенты которых идут от нулевой степени вверх, что является обратным порядком соглашения poly1d. Самый простой способ запомнить это — это то, что индексы соответствуют степени, то есть coef[i] — это коэффициент члена степени i .
Хотя различие в соглашениях может сбивать с толку, преобразовать устаревший полиномиальный API в новый несложно. Например, ниже показано, как преобразовать экземпляр numpy.poly1d , представляющий выражение \ (x ^ + 2x + 3 \), в экземпляр Polynomial , представляющий то же выражение:
>>> p1d = np.poly1d([1, 2, 3]) >>> p = np.polynomial.Polynomial(p1d.coef[::-1])
В дополнение к атрибуту coef полиномы из пакета полиномов также имеют атрибуты domain и window . Эти атрибуты наиболее важны при подгонке полиномов к данным, хотя следует отметить, что полиномы с разными атрибутами domain и window не считаются равными и не могут смешиваться в арифметике:
>>> p1 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3]) >>> p1 Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1, 1], window=[-1, 1]) >>> p2 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3], domain=[-2, 2]) >>> p1 == p2 False >>> p1 + p2 Traceback (most recent call last): . TypeError: Domains differ
Дополнительные сведения об атрибутах domain и window см. в документации по удобным классам . domain window
Еще одним важным отличием между устаревшим полиномиальным модулем и полиномиальным пакетом является полиномиальная подгонка. В старом модуле подгонка выполнялась с помощью функции polyfit . В полиномиальном пакете предпочтительным является метод fit Например, рассмотрим простую линейную подгонку к следующим данным:
In [1]: rng = np.random.default_rng() In [2]: x = np.arange(10) In [3]: y = np.arange(10) + rng.standard_normal(10)
С унаследованным модулем полиномов линейная аппроксимация (т.е. полином степени 1) может быть применена к этим данным с помощью функции polyfit :
In [4]: np.polyfit(x, y, deg=1) Out[4]: array([0.91740556, 0.45014661])
В новом полиномиальном API предпочтительнее использовать метод fit класса:
In [5]: p_fitted = np.polynomial.Polynomial.fit(x, y, deg=1) In [6]: p_fitted Out[6]: Polynomial([4.57847165, 4.12832504], domain=[0., 9.], window=[-1., 1.])
Обратите внимание, что коэффициенты даны в масштабированной области, определенной линейным отображением между window и domain . convert можно использовать для получения коэффициентов в области немасштабированных данных.
In [7]: p_fitted.convert() Out[7]: Polynomial([0.45014661, 0.91740556], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.])
Документация для пакета полиномов
В дополнение к стандартным полиномам степенного ряда, пакет полиномов предоставляет несколько дополнительных видов полиномов, включая полиномы Чебышева, Эрмита (два подтипа), полиномы Лагерра и Лежандра. Каждый из них имеет связанный вспомогательный convenience class доступный из пространства имен numpy.polynomial , который обеспечивает согласованный интерфейс для работы с многочленами независимо от их типа.
Документацию,относящуюся к конкретным функциям,определенным для каждого вида полинома в отдельности,можно найти в документации соответствующего модуля:
Документация для полиномов Legacy
NumPy 1.23
Этот модуль предоставляет ряд объектов (в основном функций),полезных для работы с рядами Чебышева,включая класс,инкапсулирующий обычную арифметику
Пакет polynomial предоставляет следующие классы удобств:Имя Предоставляет Силовой ряд Чебышева Ряд Чебышева Ряд Лежандра Ряд Лагерра Эрмита
Polynomials#
Polynomials in NumPy can be created, manipulated, and even fitted using the convenience classes of the numpy.polynomial package, introduced in NumPy 1.4.
Prior to NumPy 1.4, numpy.poly1d was the class of choice and it is still available in order to maintain backward compatibility. However, the newer polynomial package is more complete and its convenience classes provide a more consistent, better-behaved interface for working with polynomial expressions. Therefore numpy.polynomial is recommended for new coding.
Terminology
The term polynomial module refers to the old API defined in numpy.lib.polynomial , which includes the numpy.poly1d class and the polynomial functions prefixed with poly accessible from the numpy namespace (e.g. numpy.polyadd , numpy.polyval , numpy.polyfit , etc.).
The term polynomial package refers to the new API defined in numpy.polynomial , which includes the convenience classes for the different kinds of polynomials ( numpy.polynomial.Polynomial , numpy.polynomial.Chebyshev , etc.).
Transitioning from numpy.poly1d to numpy.polynomial #
As noted above, the poly1d class and associated functions defined in numpy.lib.polynomial , such as numpy.polyfit and numpy.poly , are considered legacy and should not be used in new code. Since NumPy version 1.4, the numpy.polynomial package is preferred for working with polynomials.
Quick Reference#
The following table highlights some of the main differences between the legacy polynomial module and the polynomial package for common tasks. The Polynomial class is imported for brevity:
from numpy.polynomial import Polynomial
Create a polynomial object from coefficients [ 1 ]
Create a polynomial object from roots
r = np.poly([-1, 1]) p = np.poly1d(r)
p = Polynomial.fromroots([-1, 1])
Fit a polynomial of degree deg to data
Note the reversed ordering of the coefficients
Transition Guide#
There are significant differences between numpy.lib.polynomial and numpy.polynomial . The most significant difference is the ordering of the coefficients for the polynomial expressions. The various routines in numpy.polynomial all deal with series whose coefficients go from degree zero upward, which is the reverse order of the poly1d convention. The easy way to remember this is that indices correspond to degree, i.e., coef[i] is the coefficient of the term of degree i.
Though the difference in convention may be confusing, it is straightforward to convert from the legacy polynomial API to the new. For example, the following demonstrates how you would convert a numpy.poly1d instance representing the expression \(x^ + 2x + 3\) to a Polynomial instance representing the same expression:
>>> p1d = np.poly1d([1, 2, 3]) >>> p = np.polynomial.Polynomial(p1d.coef[::-1])
In addition to the coef attribute, polynomials from the polynomial package also have domain and window attributes. These attributes are most relevant when fitting polynomials to data, though it should be noted that polynomials with different domain and window attributes are not considered equal, and can’t be mixed in arithmetic:
>>> p1 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3]) >>> p1 Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1, 1], window=[-1, 1], symbol='x') >>> p2 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3], domain=[-2, 2]) >>> p1 == p2 False >>> p1 + p2 Traceback (most recent call last): . TypeError: Domains differ
See the documentation for the convenience classes for further details on the domain and window attributes.
Another major difference between the legacy polynomial module and the polynomial package is polynomial fitting. In the old module, fitting was done via the polyfit function. In the polynomial package, the fit class method is preferred. For example, consider a simple linear fit to the following data:
In [1]: rng = np.random.default_rng() In [2]: x = np.arange(10) In [3]: y = np.arange(10) + rng.standard_normal(10)
With the legacy polynomial module, a linear fit (i.e. polynomial of degree 1) could be applied to these data with polyfit :
In [4]: np.polyfit(x, y, deg=1) Out[4]: array([0.82779319, 1.47439246])
With the new polynomial API, the fit class method is preferred:
In [5]: p_fitted = np.polynomial.Polynomial.fit(x, y, deg=1) In [6]: p_fitted Out[6]: Polynomial([5.1994618 , 3.72506935], domain=[0., 9.], window=[-1., 1.], symbol='x')
Note that the coefficients are given in the scaled domain defined by the linear mapping between the window and domain . convert can be used to get the coefficients in the unscaled data domain.
In [7]: p_fitted.convert() Out[7]: Polynomial([1.47439246, 0.82779319], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
Documentation for the polynomial Package#
In addition to standard power series polynomials, the polynomial package provides several additional kinds of polynomials including Chebyshev, Hermite (two subtypes), Laguerre, and Legendre polynomials. Each of these has an associated convenience class available from the numpy.polynomial namespace that provides a consistent interface for working with polynomials regardless of their type.
Documentation pertaining to specific functions defined for each kind of polynomial individually can be found in the corresponding module documentation: