Модуль числа в Python
Очень часто возникает необходимость вычисления модуля числа в Python. Рассмотрим, что такое модуль числа, какие есть способы его вычисления. Так же отдельно коснемся комплексных чисел.
Модуль числа
Часто в программировании требуется вычислить абсолютное значение числа. Иначе говоря, отбросить знак.
При вычислении модуля возможны 3 ситуации:
- Когда число больше 0. Если взять его по модулю — не изменится.
- Модуль нуля так же равен нулю.
- У отрицательного числа отбрасываем знак. То есть умножаем его на -1.
Но это все справедливо только для действительных чисел. Чему же тогда будет равен модуль комплексных?
Комплексное число состоит из действительной составляющей и мнимой. Геометрически это можно представить как 2 ортогональные оси: действительную и мнимую. Отмечаем на координатных осях требуемую точку. Модулем будет длина отрезка, проведенного из начала координат в эту точку.
Исходя из теоремы Пифагора получаем, что модуль комплексного числа это корень квадратный из суммы квадратов мнимой и действительной частей.
Вычисление
Вычислять модуль можно следующими способами:
- Используя стандартную функцию abs.
- С помощью функции fabs библиотеки math.
- При помощи самостоятельно написанной функции.
Все эти функции работают как в Python 2, так и в Python 3.
abs
Для вычисления в Python модуля числа используется функция abs. Результат функции того же типа, которого был аргумент.
a = -10 b = abs(a) print(b) print(type(b)) 10
fabs
Можно так же воспользоваться функцией fabs из библиотеки math. Библиотеку можно подключить с помощью from math import fabs .
from math import fabs a = -10 b = fabs(a) print(b) print(type(b)) 10.0
Отличие abs от fabs заключается в том, что функция abs возвращает значение того же типа, что и аргумент. Функция же fabs вначале преобразует тип аргумента к вещественному числу.
Свое решение
Если по каким то причинам нет возможности или желания использовать стандартные функции, то можно написать свое решение.
Например, можно вычислить воспользоваться тернарным оператором.
a = -10 b = a if a > 0 else -a print(b) 10
На основе такого условия сделаем свою функцию.
def my_abs(a): return a if a > 0 else -a print(my_abs(-3)) 3
Модуль комплексного числа
Мы разобрались как происходит вычисление с действительными числами. Теперь посмотрим, как в языке программирования Python можно получить модуль комплексного.
Функцией fabs мы не сможем воспользоваться. Если попытаемся это сделать, то получим ошибку приведения комплексного числа к действительному (TypeError).
from math import fabs a = -10-2j b = fabs(a) print(b) Traceback (most recent call last): File "main.py", line 3, in b = fabs(a) TypeError: can't convert complex to float
А вот с помощью abs преобразование удается.
a = -10-2j b = abs(a) print(b) 10.19803902718557
Или же напишем свою функцию:
from math import sqrt def my_abs_complex(c): return sqrt(c.real**2 + c.imag**2) a = -10-2j b = my_abs_complex(a) print(b) 10.198039027185569
Результаты получились одинаковыми. Но нам все равно пришлось подключить библиотеку math для вычисления квадратного корня.
Модуль числа в Python — функции abs() и math.fabs()
Запускаю китайскую реплику «ТАРДИС», и вот мы в пятом классе. На доске нарисована числовая ось, а на ней выделен отрезок. Его начало в точке 4, а конец — в 8. Учительница говорит, что длину отрезка можно найти путём вычитания координаты начала отрезка из координаты его конца. Вычитаем, получаем 4, и радуемся — мы нашли длину. Ура! 🎉
Перемещаемся на год вперёд, и там происходит странное: учительница выделяет мелом другой отрезок, но делает это в каком-то неправильном месте — левее точки с цифрой «0». Теперь перед нами старая задача, но с новыми числами и даже буквами: A, B, минус 4 и минус 8. Мы начинаем искать длину отрезка AB = [-4;-8]:
Переводим непонимающий взгляд с получившейся отрицательной длины на довольную улыбающуюся учительницу, а затем на доску. Там наверху, рядом с сегодняшней датой, написана тема урока: «Модуль числа».
Что такое модуль числа
Для вещественных чисел модуль определяется так:
Т.е. в любом случае, модуль — число большее или равное 0. Поэтому отрицательная длина в примере хитрой учительницы должна была быть взята по модулю:
Тогда дети бы увидели, что геометрический смысл модуля — есть расстояние. Это справедливо и для комплексных чисел, однако формальное определение для них отличается от вещественного:
, где z — комплексное число: z = x + i y.
В Python для нахождения модуля числа применяются две функции: fabs() из подключаемой библиотеки math и встроенная функция abs() .
Abs
В то время как math.fabs() может оперировать только вещественными аргументами, abs() отлично справляется и с комплексными. Для начала покажем, что abs в python работает строго в соответствии с математическим определением.
# для вещественных чисел print(abs(-1)) print(abs(0)) print(abs(1)) > 1 > 0 > 1
Как видно, с вещественными числами всё в порядке. Перейдём к комплексным.
# для комплексных чисел print(complex(-3, 4)) print(abs(complex(-3, 4))) > (-3+4j) > 5.0
Если вспомнить, что комплексное число выглядит так: z = x + i y, а его модуль вычисляется по формуле:
, то можно без труда посчитать, что sqrt(3**2 + 4**2) действительно равно 5.0 .
Можно заметить, что abs() возвращает значения разных типов. Это зависит от типа аргумента:
print(type(abs(1))) > print(type(abs(1.0))) > print(type(abs(complex(1.0, 1.0))))
В этом кроется ещё одно отличие abs() от fabs() . Функция из модуля math всегда приводит аргумент к вещественному типу, а если это невозможно сделать — выбрасывает ошибку:
print(type(math.fabs(complex(2,3)))) > TypeError: can’t convert complex to float
Fabs
Для начала работы с fabs() необходимо импортировать модуль math с помощью следующей инструкции:
Мы уже выяснили, что fabs() не работает с комплексными числами, поэтому проверим работу функции на вещественных:
print(math.fabs(-10)) print(math.fabs(0)) print(math.fabs(10)) > 10.0 > 0.0 > 10.0
Функция производит вычисления в соответствие с математическим определением, однако, в отличие от abs() , всегда возвращает результат типа float :
Основные свойства модулей
# Квадрат модуля = квадрату числа print(pow(4, 2) == pow(abs(4), 2)) > True # |x| = |-x| print(abs(-10) == abs(10)) > True # Модуль произведения = произведению модулей: |ab|=|a||b| print(math.fabs(11 * 3) == math.fabs(11) * math.fabs(3)) > True # Аналогично для деления: |a/b|=|a|/|b| print(math.fabs(48/8) == math.fabs(48) / math.fabs(8)) > True # |a ** b| = |a| ** b print(abs(2 ** 10) == abs(2) ** 10) > True
И еще несколько важных неравенств:
Числа: целые, вещественные, комплексные
Числа в Python 3: целые, вещественные, комплексные. Работа с числами и операции над ними.
Целые числа (int)
Числа в Python 3 ничем не отличаются от обычных чисел. Они поддерживают набор самых обычных математических операций:
x + y | Сложение |
x — y | Вычитание |
x * y | Умножение |
x / y | Деление |
x // y | Получение целой части от деления |
x % y | Остаток от деления |
-x | Смена знака числа |
abs(x) | Модуль числа |
divmod(x, y) | Пара (x // y, x % y) |
x ** y | Возведение в степень |
pow(x, y[, z]) | x y по модулю (если модуль задан) |
Также нужно отметить, что целые числа в python 3, в отличие от многих других языков, поддерживают длинную арифметику (однако, это требует больше памяти).
Над целыми числами также можно производить битовые операции
x | y | Побитовое или |
x ^ y | Побитовое исключающее или |
x & y | Побитовое и |
x | Битовый сдвиг влево |
x >> y | Битовый сдвиг вправо |
~x | Инверсия битов |
Дополнительные методы
int.bit_length() — количество бит, необходимых для представления числа в двоичном виде, без учёта знака и лидирующих нулей.
int.to_bytes(length, byteorder, *, signed=False) - возвращает строку байтов, представляющих это число.
int.from_bytes(bytes, byteorder, *, signed=False) - возвращает число из данной строки байтов.
Те, у кого в школе была информатика, знают, что числа могут быть представлены не только в десятичной системе счисления. К примеру, в компьютере используется двоичный код, и, к примеру, число 19 в двоичной системе счисления будет выглядеть как 10011. Также иногда нужно переводить числа из одной системы счисления в другую. Python для этого предоставляет несколько функций:
- int([object], [основание системы счисления]) — преобразование к целому числу в десятичной системе счисления. По умолчанию система счисления десятичная, но можно задать любое основание от 2 до 36 включительно.
- bin(x) — преобразование целого числа в двоичную строку.
- hex(х) — преобразование целого числа в шестнадцатеричную строку.
- oct(х) — преобразование целого числа в восьмеричную строку.
Вещественные числа поддерживают те же операции, что и целые. Однако (из-за представления чисел в компьютере) вещественные числа неточны, и это может привести к ошибкам:
Для высокой точности используют другие объекты (например Decimal и Fraction)).
Также вещественные числа не поддерживают длинную арифметику:
Простенькие примеры работы с числами:
float.as_integer_ratio() — пара целых чисел, чьё отношение равно этому числу.
float.is_integer() — является ли значение целым числом.
float.hex() — переводит float в hex (шестнадцатеричную систему счисления).
classmethod float.fromhex(s) — float из шестнадцатеричной строки.
Помимо стандартных выражений для работы с числами (а в Python их не так уж и много), в составе Python есть несколько полезных модулей.
Модуль math предоставляет более сложные математические функции.
В Python встроены также и комплексные числа:
: complex() Для работы с комплексными числами используется также модуль cmath.
Для вставки кода на Python в комментарий заключайте его в теги
- Книги о Python
- GUI (графический интерфейс пользователя)
- Курсы Python
- Модули
- Новости мира Python
- NumPy
- Обработка данных
- Основы программирования
- Примеры программ
- Типы данных в Python
- Видео
- Python для Web
- Работа для Python-программистов