Остаток от деления отрицательных чисел питон

Числовые типы, арифметические операции

На этом занятии мы поподробнее поговорим о представлении чисел и арифметических операциях над ними.

• int – для целочисленных значений;
• float – для вещественных;
• complex – для комплексных.

Основные арифметические операции

Пока такого понимания чисел будет вполне достаточно. Следующим шагом, нам с вами нужно научиться делать арифметические операции над ними. Что это за операции? Базовыми из них являются, следующие:

Оператор	Описание	Приоритет
+	сложение	2
—	вычитание	2
*	умножение	3
/, //	деление	3
%	остаток деления	3
**	возведение в степень	4

Давайте, я поясню их работу на конкретных примерах. Перейдем в консоль языка Python, чтобы выполнять команды в интерактивном режиме. Так будет удобнее для демонстрации возможностей вычислений. В самом простом варианте мы можем просто сложить два целых числа:

Получим результат 5. Но этот результат у нас нигде не сохраняется. Чтобы иметь возможность делать какие-либо действия с пятеркой, ее следует сохранить через переменную, например, вот так:

Теперь a ссылается на объект с числом 5. Давайте разберемся, как работает эта строчка. Сначала в Python создаются два объекта со значениями 2 и 3. Оператор сложения берет эти значения, складывает их и формирует третий объект со значением 5. А, затем, через оператор присваивания, этот объект связывается с переменной a. В конце, если на объекты 2 и 3 не ссылаются никакие другие переменные, они автоматически удаляются из памяти сборщиком мусора. Возможно, вас удивило, что при такой простой операции сложения двух чисел выполняется столько шагов. Но в Python реализовано все именно так. И это справедливо для всех арифметических операций. Мало того, раз операция сложения возвращает объект с результатом, то можно сделать и такое сложение из трех чисел:

И так далее, можно записать сколько угодно операций сложения в цепочку. Давайте теперь сложим целое число с вещественным:

Очевидно, что результат получается тоже вещественным. Отсюда можно сделать вывод, что сложение целого числа с вещественным всегда дает вещественное значение. А вот при делении двух любых чисел, мы всегда будем получать вещественное число (даже если числа можно разделить нацело):

Если же нам нужно выполнить деление с округлением к наименьшему целому, то это делается через оператор:

На выходе получаем значение 3, так как оно является наименьшим целым по отношению к 3,5. Обратите внимание, что при делении отрицательных чисел:

получим уже значение -4, так как оно наименьшее по отношению к -3,5. Вот этот момент следует иметь в виду, применяя данный оператор деления. Следующий оператор умножения работает очевидным образом:

Обратите внимание, в последней операции получим вещественное значение 9.0, а не целое 9, так как при умножении целого на вещественное получается вещественное число. Давайте теперь предположим, что мы хотим вычислить целый остаток от деления. Что это вообще такое? Например, если делить 10 : 3 то остаток будет равен 1. Почему так? Все просто, число 3 трижды входит в число 10 и остается значение 10 — 3∙3 = 1. Для вычисления этого значения в Python используется оператор:

то получим 2. Я думаю, общий принцип понятен. Здесь есть только один нюанс, при использовании отрицательных чисел. Давайте рассмотрим четыре возможные ситуации:

9 % 5 # значение 4 -9 % 5 # значение 1 9 % -5 # значение -1 -9 % -5 # значение -4

Почему получаются такие значения? Первое, я думаю, понятно. Здесь 5 один раз входит в 9 и остается еще 4. При вычислении -9 % 5 по правилам математики следует взять наименьшее целое, делящееся на 5. Здесь – это значение -10. А, далее, как и прежде, вычисляем разность между наименьшим, кратным 5 и -9: -9 – (-10) = 1 При вычислении 9 % -5, когда делитель отрицательное число, следует выбирать наибольшее целое, кратное 5. Это значение 10. А, далее, также вычисляется разность: 9 – 10 = -1 В последнем варианте -9 % -5 следует снова выбирать наибольшее целое (так как делитель отрицателен), получаем -5, а затем, вычислить разность: -9 – (-5) = -4 Как видите, в целом, все просто, только нужно запомнить и знать эти правила. Кстати, они вам в дальнейшем пригодятся на курсе математики. Последняя арифметическая операция – это возведение в степень. Она работает просто:

2 ** 3 # возведение в куб 36 ** 0.5 # 36 в степени 1/2 (корень квадратный) 2 ** 3 ** 2 # 2^3^2 = 512

В последней строчке сначала 3 возводится в квадрат (получаем 9), а затем, 2 возводится в степень 9, получаем 512. То есть, оператор возведения в степень выполняется справа-налево. Тогда как все остальные арифметические операции – слева-направо.

Приоритеты арифметических операций

Получим значение 9. Почему так произошло? Ведь кубический корень из 27 – это 3, а не 9? Все дело в приоритете арифметических операций (проще говоря, в последовательности их выполнения). Приоритет у оператора возведения в степень ** — наибольший. Поэтому здесь сначала 27 возводится в степень 1, а затем, 27 делится на 3. Получаем искомое значение 9. Если нам нужно изменить порядок вычисления, то есть, приоритеты, то следует использовать круглые скобки:

Теперь видим значение 3. То есть, по правилам математики, сначала производятся вычисления в круглых скобках, а затем, все остальное в порядке приоритетов. Приведу еще один пример, чтобы все было понятно:

То есть, приоритеты работают так, как нас учили на школьных уроках математики. Я думаю, здесь все должно быть понятно. Также не забывайте, что все арифметические операторы выполняются слева-направо (кроме оператора возведения в степень), поэтому в строчке:

Дополнительные арифметические операторы

В заключение этого занятия рассмотрим некоторые дополнения к арифметическим операторам. Предположим, что у нас имеются переменные:

И, далее, мы хотим переменную i увеличить на 1, а j – уменьшить на 2. Используя существующие знания, это можно сделать, следующим образом:

Результат будет прежним, но запись короче. Часто, в таких ситуациях на практике используют именно такие сокращенные операторы. То же самое можно делать и с умножением, делением:

Источник

Деление с остатком преподнесло сюрприз

Деление с остатком – часто используемая операция в программировании. Начиная от классических заданий для начинающих на вычисление минут и секунд:

total_seconds = 119 seconds = total_seconds % 60 minutes = total_seconds // 60 print(f':') # 1:59

Заканчивая тем, что на остатках построена львиная доля криптографии. Нахождения остатка часто называют modulo (или коротко mod).

При делении a на b неполное частное q и остаток r связаны формулой:

В Python 3 частное и остаток вычисляются операторами:

Именно двойной слэш, одинарный слэш – деление без остатка (до конца). Иногда двойной слэш называют целочисленным делением, что не очень справедливо, потому что мы можем без проблем делить числа с запятой. Если оба числа целые (int), то частное будет тоже целым числом (int), иначе float. Посмотрите примеры:

10 / 3 == 3.3333333333333335 10 // 3 == 3 10.0 / 3.0 == 3.3333333333333335 10.0 // 3.0 == 3.0 10.0 % 3.0 == 1.0 10 % 3 == 1 2.4 // 0.4 == 5.0 2.4 / 0.4 == 5.999999999999999 2.4 % 0.4 == 0.3999999999999998

Последние три примера немного обескураживают из-за особенностей вычислений с плавающей точкой на компьютере, но формула a = b · q + r всегда остается справедлива.

a, b = [10, -10], [3, -3] for x in a: for y in b: print(f' // = ') print(f' % = ') print() 10 // 3 = 3 10 % 3 = 1 10 // -3 = -4 10 % -3 = -2 -10 // 3 = -4 -10 % 3 = 2 -10 // -3 = 3 -10 % -3 = -1

Формула выполняется всегда, но результаты отличаются для С++ и Python, где при делении на положительное число – остаток всегда положителен, а на отрицательное число – отрицателен. Если бы мы сами реализовали взятие остатка, то получилось бы так:

def mod_python(a, b): return int(a - math.floor(a / b) * b) # на С++ работает так: def mod_cpp(a, b): return int(a - math.trunc(a / b) * b)

Где floor – ближайшее целое число не превышающее аргумент: floor(-3.3) = -4 , а trunc – функция отбрасывания целой части: trunc(-3.3) = -3 . Разница проявляется между ними только для отрицательных чисел. Отсюда и разные остатки и частные – все зависит от того, с какой стороны числовой оси мы приближаемся к частному.

Вывод: если вам доведется писать или портировать код, где возможно деление отрицательных чисел с остатком, будьте предельно аккуратны, и помните про разницу поведения деления в разных языках.

🐉 Специально для канала @pyway. Подписывайтесь на мой канал в Телеграм @pyway 👈

Источник

Python Modulo — оператор %

Оператор модуля Python (%) используется для получения остатка от деления. Операция по модулю поддерживается для целых чисел и чисел с плавающей запятой.

Синтаксис оператора по модулю: a % b . Здесь «a» — дивиденд, а «b» — делитель. Результат — это остаток от деления a на b.

Если и «a», и «b» являются целыми числами, то остаток также является целым числом. Если одно из них является числом с плавающей запятой, результатом также будет число с плавающей запятой.

Пример оператора модуля Python

Давайте посмотрим на несколько примеров оператора по модулю.

1. По модулю с целыми числами

2. По модулю с поплавком

3. Модульное с пользовательским вводом.

x = input("Please enter first number:\n") fx = float(x) y = input("Please enter first number:\n") fy = float(y) print(f' % = ')

Когда мы получаем данные, введенные пользователем, они имеют форму строки. Мы используем встроенную функцию float() для преобразования их в числа с плавающей запятой. Вот почему остаток равен 1,0, а не 1.

4. Пример ZeroDivisionError

Если делитель равен 0, оператор по модулю выдаст ZeroDivisionError . Мы можем использовать блок try-except, чтобы поймать ошибку.

5. По модулю с отрицательными числами

Оператор модуля Python всегда возвращает остаток, имеющий тот же знак, что и делитель. Это может привести к путанице с выводом.

6. Python Modulo math.fmod()

Поведение оператора% с отрицательными числами отличается от поведения библиотеки C. Если вы хотите, чтобы операция по модулю велась как программирование на C, вам следует использовать функцию fmod() математического модуля. Это рекомендуемая функция для получения чисел с плавающей запятой по модулю.

>>> import math >>> math.fmod(-5, 3) -2.0 >>> math.fmod(5, -3) 2.0 >>> math.fmod(-10, 3) -1.0 >>>

• fmod (-5, 3) = fmod (-2 -1 * 3, 3) = -2,0
• fmod (5, -3) = fmod (2-1 * -3, -3) = 2,0
• fmod (-10, 3) = fmod (-1-3 * 3, 3) = -1,0

Перегрузка оператора по модулю

Мы можем перегрузить оператор по модулю, реализовав __mod__() в нашем определении класса.

class Data: def __init__(self, i): self.id = i def __mod__(self, other): print('modulo function called') return self.id % other.id def __str__(self): return f'Data[]' d1 = Data(10) d2 = Data(3) print(f' % = ')

modulo function called Data[10] % Data[3] = 1

Коротко о проблемах арифметики с плавающей запятой

Мы используем двоичный формат для хранения значений в компьютерах. Что касается дробей, в большинстве случаев мы не можем представить их в точности как двоичные дроби. Например, 1/3 не может быть представлена в точном двоичном формате, и это всегда будет приблизительное значение.

Вот почему вы можете получить неожиданные результаты при выполнении арифметических операций с числами с плавающей запятой. Это ясно из вывода нижеприведенных операций по модулю.

На выходе должно быть 0, потому что 3,2 * 3 равно 9,6. Но значения долей с плавающей запятой не представлены точно, и приближение вызывает эту ошибку. Это тоже видно из этого примера.

Таким образом, вы должны проявлять особую осторожность при работе с числами с плавающей запятой. Желательно выполнить округление, а затем сравнить только два числа с плавающей запятой.

>>> round(9.6, 3) == round(3.2 * 3, 3) True

Источник