Двойственной задачи линейного программирования об использовании ресурсов

Решение двойственной задачи линейного программирования

Инструкция . Выберите количество переменных и количество ограничений прямой задачи линейного программирования, нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel . При этом ограничения типа x_i ≥ 0 не учитывайте. Если прямая задача ЛП не имеет решение, но требуется составить двойственную задачу или одна из переменных x_i неопределена, то можно использовать этот калькулятор.

Определив обратную матрицу А -1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A -1 расположена в столбцах дополнительных переменных x₄ , x₅ , x₆ .
Тогда Y = C*A -1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен: y₁ = 23.75, y₂ = 12.5, y₃ = 0
Z(Y) = 1100*23.75+120*12.5+8000*0 = 27625
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:
0.1*250 + 0.2*5375 + 0.4*0 = 1100 = 1100
0.05*250 + 0.02*5375 + 0.02*0 = 120 = 120
3*250 + 1*5375 + 2*0 = 6125 < 8000 1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₁>0).
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0).
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₃ = 0.
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.
При постановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:
0.1*23.75 + 0.05*12.5 + 3*0 = 3 = 3
0.2*23.75 + 0.02*12.5 + 1*0 = 5 = 5
0.4*23.75 + 0.02*12.5 + 2*0 = 9.75 > 4
1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).
2-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₂>0).
3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x₃ = 0.
Величина двойственной оценки показывает, на сколько возрастает значение целевой функции при увеличении дефицитного ресурса на единицу.
Например, увеличении 1-го ресурса на 1 приведет к получению нового оптимального плана, в котором целевая функция возрастает на 23.75 и станет равной: F(x) = 27625 + 23.75 = 27648.75
Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.
Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ∆ с_i. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.
1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

-3.8 ≤ с₁ ≤ 1
Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 3.8 или увеличен на 1
Интервал изменения равен: [3-3.8; 3+1] = [-0.8;4]
Если значение c₁ будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится. 2-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

-10 ≤ b₂ ≤ 30
Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 10 или увеличен на 30
Интервал изменения равен: [120-10; 120+30] = [110;150]
Составим субоптимальные варианты плана с учетом изменений исходных данных модели (таблицы).
Пусть 2-ый ресурс увеличили на 50

Базисные переменные	Значение базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов k c	Произведение k c на (50)	Расчет варианта плана
x 2	5375	6.25	312.5	5687.5
x 1	250	-2.5	-125	125
x 6	1875	1.25	62.5	1937.5
F(X)	27625	23.75	1187.5	28812.5

Пусть 1-ый ресурс уменьшили на -5

Базисные переменные	Значение базисных переменных	Коэффициент структурных сдвигов k c	Произведение k c на (-5)	Расчет варианта плана
x 2	5375	-12.5	62.5	5437.5
x 1	250	25	-125	125
x 6	1875	-62.5	312.5	2187.5
F(X)	27625	12.5	-62.5	27562.5

Задание : Для исходной задачи составить двойственную. Решить обе задачи симплексным методом или двойственным симплексным методом и по решению каждой из них найти решение другой. Одну из задач решить графическим методом.
F(X) = 3x₁ + x₂ → min
— 2x₁ + x₂≥4
2x₁ + x₂≤8
3x₁ + 2x₂≥6
Решение.
I этап. Приводим систему к каноническому виду.
II этап. Решаем симплекс-методом.
Примечание: Если задача решается данным калькулятором, то предыдущие два этапа пропускаем, поскольку они автоматически включены в решение.
На втором этапе окончательный вариант симплекс-таблицы имеет вид:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x5	2	-7	0	-2	0	1	2	-1
x4	4	4	0	1	1	0	-1	0
x2	4	-2	1	-1	0	0	1	0
F(X3)	4	-5	0	-1	0	0	1-M	-M

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым. Записываем оптимальный план:
x₁ = 0, x₂ = 4, F(X) = 1•4 = 4 Составим двойственную задачу к прямой задаче.
— 2y₁ + 2y₂ + 3y₃≤3
y₁ + y₂ + 2y₃≤1
4y₁ + 8y₂ + 6y₃ → max
y₁ ≥ 0, y₂ ≤ 0, y₃ ≥ 0
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи. Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A -1 . Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Источник

3. 2 Двойственность в задачах линейного программирования

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения качественных исследований задач линейного программирования.

Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов. Ранее рассмотрена задача об использовании ресурсов (экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи I представлены в левой части табл. 6.1). В приведенной модели b_i (i = 1, 2, . m) обозначает запас ресурса S_i , a_ij — число единиц ресурса S_i потребляемого при производстве единицы продукции P_j(j = 1, 2, . n); C_j — прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj). Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы S₁, S₂, . S_m предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы у₁, у₂, . y_m Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы Z в количествах b₁, b₂, . b_m по ценам соответственно у₁, у₂, . y_mбыли минимальны, т.е Z=b₁у₁ + b₂ у₂ +. + b_m у_m min . С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции Р₁ расходуется a₁₁ единиц ресурса S₁, a₂₁ единиц ресурса S₂, . a_i1единиц ресурса S_i . а_m1 единиц ресурса S_m по цене соответственно у₁, у₂, . у_i . y_m. Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы продукции Р₁ должны быть не менее ее цены c₁, т.е. a₁₁ у₁ + a₂₁ у₂ +:+a_m1 у_m>=c₁ Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции Р₁, Р₂, . Р_m. Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи II приведены в правой части табл. 6.1.

Задача II (двойственная)

F=c₁x₁+c₂x ₂+. +c_nx_nmax (6.1) при ограничениях a₁₁x₁ + a₁₂x₂+. + a_1nx_{n 1} a₂₁x₁ + a₂₂x₂+. + a _2nx_{n 2} (6.2) a_m1x₁ + a_m2x₂+. + a_mnx_{n m} и условии неотрицательности x₁>= 0; x₂>= 0;: x_n>= 0 Составить такой план выпуска продукции Х = (х₁, х₂, . х_n), при котором прибыль (выручка) от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.

Z=b₁y₁+b₂y₂+. +b_m y_m min (6.4) при ограничениях a₁₁у₁ + a₂₁у₂+. + a_m1у_m >= c₁ a₁₂у₁ + a₂₂у₂+. + a_m2у_m >= c₂ (6.5) a_1nу₁ + a_2nу₂+. + a_mnу_m >= c_n и условии неотрицательности. y₁>= 0; y₂>= 0;: y_m>= 0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (у₁, y₂, . у_m), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Цены ресурсов у₁, у₂, . у_m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что этоусловные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен c₁, с₂, . c_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов у₁, у₂, . у_nявляются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.

Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной.

Математические модели этих задач имеют следующий вид.

Zmax=

,

двойственная задача:

Zmin=

,

Источник

Двойственные задачи линейного программирования

Двойственность является важным понятием в линейном программировании, имеющим экономическое (практическое) применение. Например, для задачи оптимального распределения ресурсов для производства некоторых видов товаров пара прямой и двойственной задачи принимает следующий экономический смысл:
Прямая задача: Сколько и какой продукции xj необходимо производить, чтобы при заданных доходах Cj и объемах ресурсов bi максимизировать доход от продажи продукции?
Двойственная задача: Какова должна быть «теневая» цена каждого ресурса yi, чтобы при заданных количествах bi и доходах Cj минимизировать затраты?

Для составления двойственных задач используют специальные правила, при решении же выбирают один из наиболее подходящих методов решения ЗЛП: симплекс-метод, графический метод. Более того, так как между парой двойственных задач существует связь, иногда достаточно решить только одну из задач, чтобы получить решение второй.

Примеры составления и решения двойственных задач линейного программирования приведены в этом разделе — изучайте, ищите похожие, решайте. Если вам нужна помощь в выполнении подобных заданий — Решение контрольных по линейному программированию.

Примеры составления и решения двойственных задач онлайн

Задача 1. Записать математическую модель двойственной ЗЛП по заданной прямой:

Задача 2. Составить задачу, двойственную исходной задаче:

Задача 3. Решить задачу линейного программирования; составить задачу, двойственную данной, и также найти ее решение:

Источник

Двойственные задачи линейного программирования

Каждой задаче ЛП соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности оказалась полезной для проведения исследования ЗЛП.

Экономическая интерпретация двойственной задачи к задаче об использовании ресурсов

Определить, сколько надо выпускать продукции первого и второго вида, чтобы общая прибыль была максимальна. Прибыль от выпуска единицы П1 – 7 рублей, П2 – 5 рублей. Имеется 4 вида ресурсов, которые идут на изготовление этой продукции (запасы ресурсов – 19, 13, 15 и 18 единиц соответственно).

Пусть математическая формулировка задачи об использовании ресурсов такова:

(1)

(2),

(3).

Предположим, что некоторая организация желает приобрести сырье, которым располагает предприятие. По какой цене эта организация стала бы покупать указанное сырье, обозначим, соответственно, через , цену единицы сырья вида .

Выручка от продажи всего сырья, расходуемого на единицу продукции вида по ценам , составит . Предприятию выгодно продавать сырье, если

С другой стороны общая стоимость всех запасов сырья, приобретаемого составит (4). Ясно, что покупающая организация стремится приобрести сырье по возможности дешевле, то есть минимизирует форму (4). Таким образом

(4)

(6).

Цены Y1, Y2, …, Ym в экономической литературе получили названия: учетные, неявные, теневые. Смысл в том, что это условные, «ненастоящие» цены. Их часто называют оценками ресурсов.

Две задачи линейного программирования (1) — (3), (4) — (6), связанные подобного рода особенностями называются взаимно двойственными или сопряженными.

Источник

A = (A5, A4, A2) =